Question

4．设椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数，且椭圆与y轴的一个交点坐标为（0，$\sqrt{2}$）．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若直线y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-m）交椭圆与A，B两点，椭圆上一点C（$\sqrt{2}$，1），求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得a，b，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）双曲线的离心率为$\sqrt{2}$，
由题意可得椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由b=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²，得a=2，c=$\sqrt{2}$，
故椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}（x-m）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得2x²-2mx+m²-4=0，
由△=4m²-8（m²-4）＞0，
得-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$．且x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
所以|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{{m}^{2}-2（{m}^{2}-4）}$
=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{8-{m}^{2}}$．
又C到直线AB的距离为d=$\frac{|1-\frac{\sqrt{2}}{2}m-1|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{3}}$，
所以S△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{m}^{2}（8-{m}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$•$\frac{{m}^{2}+8-{m}^{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当m=±2∈（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）时取等号，
所以△ABC面积的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．