Question

12．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数$f（x）=1+a{（\frac{1}{2}）^x}+{（\frac{1}{4}）^x}$，$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}$．
（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）在区间$[\frac{9}{7}，3]$上的所有上界构成的集合；
（3）若函数f（x）在[0，+∞）上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义求出a的值即可；
（2）先求出函数的单调区间，求出函数的值域，从而求出函数g（x）在区间$[\frac{9}{7}，3]$上的所有上界构成的集合；
（3）问题转化为$-6•{2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}≤a≤4•{2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}$在[0，+∞）上恒成立，通过换元法求解即可．

解答 解：（1）因为函数g（x）为奇函数，
所以g（-x）=-g（x），即${log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+ax}{-x-1}=-{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1-ax}{x-1}$，
即$\frac{1+ax}{-x-1}=\frac{x-1}{1-ax}$，得a=±1，而当a=1时不合题意，故a=-1．
（2）由（1）得：$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}$，
而$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}={log_{\frac{1}{2}}}（1+\frac{2}{x-1}）$，易知g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
所以函数$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}$在区间$[\frac{9}{7}，3]$上单调递增，
所以函数$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}$在区间$[\frac{9}{7}，3]$上的值域为[-3，-1]，所以|g（x）|≤3，
故函数g（x）在区间$[\frac{9}{7}，3]$上的所有上界构成集合为[3，+∞）．
（3）由题意知，|f（x）|≤5在[0，+∞）上恒成立，-5≤f（x）≤5，$-6-{（\frac{1}{4}）^x}≤a{（\frac{1}{2}）^x}≤4-{（\frac{1}{4}）^x}$．
∴$-6•{2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}≤a≤4•{2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}$在[0，+∞）上恒成立．
∴${[-6•{2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}]_{max}}≤a≤{[4•{2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}]_{min}}$
设2^x=t，$h（t）=-6t-\frac{1}{t}$，$P（t）=4t-\frac{1}{t}$，由x∈[0，+∞），得t≥1．
易知P（t）在[1，+∞）上递增，
设1≤t₁＜t₂，$h（{t_1}）-f（{t_2}）=\frac{{（{t_2}-{t_1}）（6{t_1}{t_2}-1）}}{{{t_1}{t_2}}}＞0$，
所以h（t）在[1，+∞）上递减，h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-7，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=3，
所以实数a的取值范围为[-7，3]．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的新定义问题，考查换元思想，是一道中档题．