Question

2．已知函数f（x）=sin²x-sin²（x-$\frac{π}{6}$），x∈R．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）若关于x的方程2f（x）-m+1=0在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上有两个相异的实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调减区间．
（2）由题意可知，函数y=2f（x）与函数y=m-1的图象在区间$[-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}]$上有两个交点，结合图象求得m的范围．

解答 解：（ 1 ） 由已知，有f（x）=$\frac{1-cos2x}{2}-\frac{{1-cos（{2x-\frac{π}{3}}）}}{2}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x}）-\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x-\frac{1}{4}cos2x=\frac{1}{2}sin（{2x-\frac{π}{6}}）$．
设2kπ+$\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，解得kπ+$\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}$，
故f（x）的单调减区间为：$[kπ+\frac{π}{3}\;，\;kπ+\frac{5π}{6}]\;\;（k∈Z）$．
（2）由题意可知，函数y=2f（x）与函数y=m-1的图象在
区间$[-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}]$上有两个交点，
∵$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}]\;\;∴2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{5π}{6}，\frac{π}{3}]$，
∴2f（x）=2•$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
结合图象可得：-1＜m-1≤-$\frac{1}{2}$，解得0＜m≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的图象特征，属于中档题．