Question

11．在△ABC中，c=2，C=$\frac{π}{3}$，记△ABC的面积为S．
（1）若sinB=2sinA，求S；
（2）求a+2b的最大值．

Answer 1

分析 （1）sinB=2sinA，利用正弦定理可得：b=2a，再利用余弦定理即可得出a，b，利用三角形面积计算公式即可得出．
（2）由正弦定理可得：a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB，可得a+2b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin$（\frac{2π}{3}-A）$，化简计算即可得出．

解答 解：（1）∵sinB=2sinA，∴b=2a，
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，∴2²=a²+b²-2abcosC，化为a²+b²-ab=4，
把b=2a代入可得：a²=$\frac{4}{3}$，解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴S=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×sin\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB，
∴a+2b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin$（\frac{2π}{3}-A）$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$（2sinA+\sqrt{3}cosA）$=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$sin（A+θ），
∵A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，θ=arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴sin（A+θ）≤1，
∴a+2b的最大值为$\frac{4\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．