Question

19．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，点D是A₁C₁的中点，则异面直线AD和BC₁所成角的大小为30°．

Answer 1

分析 可作出图形，取AC中点E，并连接C₁E，BE，从而有C₁E∥AD，从而得到∠EC₁B或其补角便为异面直线AD和BC₁所成角，根据条件可以求出△BC₁E的三边长度，从而可以得到∠BEC₁=90°，然后求sin∠BC₁E，这样即可得出异面直线AD和BC₁所成角的大小．

解答 解：如图，取AC中点E，连接C₁E，BE，则C₁E∥AD；

∴∠EC₁B或其补角为异面直线AD和BC₁所成角；
根据条件得：$BE=\sqrt{2}，{C}_{1}E=\sqrt{6}，B{C}_{1}=2\sqrt{2}$；
∴$B{E}^{2}+{C}_{1}{E}^{2}=B{{C}_{1}}^{2}$；
∴∠BEC₁=90°；
∴$sin∠E{C}_{1}B=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$；
∴∠EC₁B=30°；
∴异面直线AD和BC₁所成角的大小为30°．
故答案为：30°．

点评 考查异面直线所成角的概念及求法，直角三角形边的关系，正弦函数的定义，以及已知三角函数值求角．