Question

4．如图，正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面边长为1，下底面边长为3，高为1，M为BC的中点，则直线B₁M与平面ACC₁A₁的夹角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 取AC中点O，A₁C₁中点O₁，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线B₁M与平面ACC₁A₁的夹角的正弦值．

解答 解：如图，取AC中点O，A₁C₁中点O₁，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意知B₁（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，1），B（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0，0），C（0，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0），M（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，0），
$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，-1），平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设直线B₁M与平面ACC₁A₁的夹角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}M}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}M}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\frac{9}{4}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴直线B₁M与平面ACC₁A₁的夹角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故选：B．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．