Question

13．已知函数f（x）=2cos$\frac{x}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$），在△ABC中，有f（A）=$\sqrt{3}$+1．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值；
（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）化简f（x），根据f（A）求出A，使用余弦定理解出m；
（2）代入余弦定理，使用基本不等式得出bc的最大值．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$-2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cosx-sinx=$\sqrt{3}$+2cos（x+$\frac{π}{6}$）．
∵f（A）=$\sqrt{3}$+1，∴cos（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．∴A=$\frac{π}{6}$．
∵a²-c²=b²-mbc，∴b²+c²-a²=mbc，∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{m}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴m=$\sqrt{3}$．
（2）由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-1}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴b²+c²=$\sqrt{3}$bc+1≥2bc，∴bc≤2+$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{4}$bc≤$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．
∴△ABC面积的最大值为$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，余弦定理得应用，基本不等式，属于中档题．