Question

12．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且$\sqrt{3}b=2csinB$
（Ⅰ）确定角C的大小；     
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，且a+b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知等式结合正弦定理求得sinC的值，进一步求得C；     
（Ⅱ）由余弦定理结合已知c=$\sqrt{7}$，且a+b=5求得ab=6，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）由$\sqrt{3}b=2csinB$及正弦定理得，
$\sqrt{3}•2R•sinB=2•2R•sinCsinB…（1）$，①
∵sinB≠0，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又△ABC是锐角三角形，∴$C=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理得：${a}^{2}+{b}^{2}-2ab•cos\frac{π}{3}=7$，即a²+b²-ab=7，②
由②变形得（a+b）²-3ab=7，
∵a+b=5，∴ab=6，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．