Question

20．过点M（2，-1）作斜率为$\frac{1}{2}$的直线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B两个不同点，若M是AB的中点，则该椭圆的离心率e=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即可求出椭圆的离心率．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，
A，B两个不同点代入椭圆方程，可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
作差整理可得$\frac{4（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{-2（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
∵斜率为$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2b，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键，属于中档题．