Question

10．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AC=BC=1，AA₁=2，点D、E分别为AA₁、B₁C₁的中点．
（1）求三棱锥C₁-DBC的体积${V_{{C_1}-DBC}}$
（2）求证：A₁E∥面BC₁D
（3）求证：面BC₁D⊥面BCD．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥面AC₁，利用${V_{{C_1}-DBC}}$=${V_{B-DC{C_1}}}$，求出三棱锥C₁-DBC的体积${V_{{C_1}-DBC}}$
（2）求设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，求出平面BC₁D的一个法向量，证明$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{n}$=0，即可证明A₁E∥面BC₁D；
（3）求出平面BCD的一个法向量，证明$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，即可证明面BC₁D⊥面BCD．

解答 （1）解：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥BC，
又BC⊥AC，且AA₁∩AC=A，∴BC⊥面AC₁
∴BC是三棱锥B-DCC₁的高．
${V_{{C_1}-DBC}}$=${V_{B-DC{C_1}}}$=$\frac{1}{3}•（\frac{1}{2}•C{C_1}•AC）•BC$=$\frac{1}{3}$；（4分）
（2）证明：设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz
所以A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），
A₁（1，0，2），B₁（0，1，2），C₁（0，0，2）．
因此E（0，$\frac{1}{2}$，0），D（1，0，1）
所以$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=$（-1，\frac{1}{2}，0）$
设平面BC₁D的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
得：$\left\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\-y+2z=0\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=1\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{n}$=（1，2，1）此时$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{n}$=-1+1=0．
∴A₁E⊥$\overrightarrow{n}$，
∴A₁E∥面BC₁D（8分）
（3）证明：设平面BCD的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
得：$\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\ y=0\end{array}\right.$∴$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1）
此时$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1）•（1，2，1）=0
∴$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴面BC₁D⊥面BCD（12分）

点评 本题考查几何体体积的计算，考查线面平行，平面与平面垂直的证明，考查向量法的运用，属于中档题．