Question

1．如图，已知长方形ABCD中，AD=$\frac{1}{2}$AB=a，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，点O是线段AM的中点．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若三棱锥C-BMD的高为2，求a的值和△CDM的面积．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质即可证明AD⊥BM；
（2）取AM的中点O，连接DO，则DO⊥AM，可得DO⊥平面ADM，即可求a的值和△CDM的面积．

解答 （1）证明：∵矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，M为DC的中点，∴AM=BM=$\sqrt{2}$a，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM．
再由平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，∴BM⊥平面ADM，
结合AD?平面ADM，可得AD⊥BM．
（2）解：取AM的中点O，连接DO，则DO⊥AM，
由平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，∴DO⊥平面ADM，
∴DO=2，∴a=2$\sqrt{2}$．
∵DO=2，O到直线CM的距离为$\sqrt{2}$，
∴D到直线CM的距离为$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
∴△CDM的面积S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{6}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生的计算能力，属于中档题．