Question

12．已知函数f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1（x≠0）
（1）若对任意的x∈R⁺，不等式f（x）＞0恒成立，求m的取值范围；
（2）试讨论函数f（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （1）化简可得m＞x-x²对x＞0恒成立，从而利用配方法化为最值问题即可；
（2）令f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1=0化简可得m=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x＞0}\\{x+{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，从而转化为y=m和y=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x＞0}\\{x+{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$的图象的交点个数，从而利用数形结合求解即可．

解答 解：（1）当x＞0时，f（x）=x+$\frac{m}{x}$-1＞0恒成立，
则有m＞x-x²对x＞0恒成立，
而x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
故m＞$\frac{1}{4}$；
（2）令f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1=0得，
m=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x＞0}\\{x+{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
函数f（x）的零点个数，
即y=m和y=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x＞0}\\{x+{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$的交点个数，
在同一坐标系中作出函数的图象如下，

结合图象可知，
①m＞$\frac{1}{4}$或m＜-$\frac{1}{4}$时，有一个零点；
②m=±$\frac{1}{4}$或m=0时，有两个零点；
③-$\frac{1}{4}$＜m＜$\frac{1}{4}$且m≠0时，有三个零点．

点评 本题考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了数形结合与分类讨论的思想应用．