Question

20．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是（　　）

• A． ?x₀∈R，f（x₀）=0
• B． 若x₀是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x₀）上单调递减
• C． 函数f（x）的图象是中心对称图形
• D． 若x₀是f（x）的极值点，则f′（x₀）=0

Answer 1

分析 求函数的导数，根据函数单调性，极值和导数的关系进行判断即可．

解答 解：A．当x→+∞时，f（x）→+∞，当x→-∞时，f（x）→-∞，即?x₀∈R，f（x₀）=0，故A正确，
B．（1）当△=4a²-12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：x₂是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（-∞，x₂）不具有单调性，
即若x₀是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x₀）上单调递减，错误，故B不正确．
C．∵f（-$\frac{2a}{3}$-x）+f（x）=[${（-\frac{2a}{3}-x）}^{3}$+a${（-\frac{2a}{3}-x）}^{2}$+b（-$\frac{2a}{3}$-x）+c]+（x³+ax²+bx+c）=$\frac{{4a}^{3}}{9}$-$\frac{2ab}{3}$+2c，
f（-$\frac{a}{3}$）=$\frac{{2a}^{3}}{9}$-$\frac{ab}{3}$+c，
∴f（-$\frac{2a}{3}$-x）+f（x）=2f（-$\frac{a}{3}$），
∴f（x）关于点P（-$\frac{a}{3}$，f（-$\frac{a}{3}$））成中心对称，∴故函数y=f（x）的图象一定是中心对称图形，故C正确，
D．根据函数极值点的定义和性质值，若若x₀是f（x）的极值点，则f′（x₀）=0，故D正确，
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查导函数与极值的应用，要求熟练掌握三次函数的图象和性质，属于中档题