Question

8．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线${C_1}：{x^2}+{y^2}=1$，以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．将曲线C₁上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的$\sqrt{3}$、2倍后得到曲线C₂，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C₂的参数方程．

Answer 1

分析 根据极坐标与直角坐标的对应关系得出l的普通方程，根据图象变换先写出C₂的普通方程，再转化为参数方程．

解答 解：∵ρ（2cosθ-sinθ）=6，即2ρcosθ-ρsinθ-6=0．
∴直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0，
曲线C₂的直角坐标方程为：${（\frac{x}{{\sqrt{3}}}）^2}+{（\frac{y}{2}）^2}=1$，
令$\frac{x}{\sqrt{3}}$=cosθ，$\frac{y}{2}$=sinθ，则x=$\sqrt{3}$cosθ，y=2sinθ．
∴曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$．

点评 本题考查了极坐标方程参数方程与普通方程的转化，属于基础题．