Question

13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$．（t为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=acosθ，（a＞0）
（Ⅰ） 求直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ） 若直线l与曲线C相切，求a的值．

Answer 1

分析 （I）消参数得到直线l的普通方程，对ρ=acosθ两边平方得出曲线C的普通方程；
（II）根据直线与圆相切得出圆心到直线的距离等于半径，列方程解出a．

解答 解：（I）∵$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，∴x=1+y，即x-y-1=0．∴直线l的普通方程为x-y-1=0．
∵ρ=acosθ，∴ρ²=aρcosθ，∴曲线C的普通方程为x²+y²-ax=0．即（x-$\frac{a}{2}$）²+y²=$\frac{{a}^{2}}{4}$．
（II）由（1）知曲线C的圆心为（$\frac{a}{2}$，0），半径为$\frac{a}{2}$．
∵直线l与曲线C相切，∴$\frac{|\frac{a}{2}-1|}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2}$，解得a=2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，属于基础题．