Question

18．如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=$\sqrt{3}$． 
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求三棱锥P-BDC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证BD⊥AC，BD⊥PA，得出BD⊥平面PAC，又BD在平面PBD内，推出平面PBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）直接利用V=$\frac{1}{3}$S_△BDC•PA，求解几何体的体积．

解答 （Ⅰ）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面为菱形，所以BD⊥AC，
又PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA，
因为PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，
又BD在平面PBD内，
所以平面PBD⊥平面PAD．…（6分）
（Ⅱ）解：因为PA⊥底面ABCD，所以PA是底面BCD上的高，
所以：$V=\frac{1}{3}{S_{△BDC}}•PA=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}）×\sqrt{3}=1$．…（12分）

点评 本题考查空间想象能力，直线与平面垂直，平面与平面垂直，几何体的体积的计算，属于中档题．