Question

7．函数f（x）的定义域为D，函数g（x）的定义域为E．规定：函数$h（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x）g（x），x∈D且x∈E\\ f（x），x∈D且x∉E\\ g（x），x∈E且x∉D\end{array}\right.$
（Ⅰ）若函数$f（x）=\frac{1}{x-1}，g（x）={x^2}$，写出函数h（x）的解析式；
（Ⅱ）判断问题（Ⅰ）中函数h（x）在（1，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈（0，π），请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并给予证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的定义即可得到结论．
（Ⅱ）根据函数单调性的定义进行判断证明即可；
（Ⅲ）根据三角函数的关系进行解方程即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），g（x）的定义域为R，
∴$h（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{x-1}，x∈（-∞，1）∪（1，+∞）\\ 1，x=1\end{array}\right.$
（Ⅱ）当x＞1时，$h（x）=\frac{x^2}{x-1}$
任意取x₁＜x₂∈（1，+∞），则$h（{x_1}）-h（{x_2}）=\frac{{{x_1}^2}}{{{x_1}-1}}-\frac{{{x_2}^2}}{{{x_2}-1}}=\frac{{（{x_1}-{x_2}）[{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）]}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$，
∵${x_1}＜{x_2}∈（1，+∞）\begin{array}{l}{\;}&{∴{x_1}-{x_2}＜0，{x_1}-1＞0，{x_2}-1＞0}\end{array}$
①当x₁＜x₂∈（1，2）时，x₁x₂-（x₁+x₂）＜0，即h（x₁）-h（x₂）＞0，
∴h（x₁）＞h（x₂），故，h（x）在（1，2）上单调递减．
②当x₁＜x₂∈（2，+∞）时，x₁x₂-（x₁+x₂）＞0，即h（x₁）-h（x₂）＜0，
∴h（x₁）＜h（x₂），故，h（x）在（2，+∞）上单调递增．
综上，h（x）在（1，2）上单调递减，h（x）在（2，+∞）上单调递增．
（Ⅲ）由函数y=f（x）的定义域为R，得g（x）=f（x+α）的定义域为R，
∴对于任意x∈R，都有h（x）=f（x）g（x）
即对于任意x∈R，都有cos4x=f（x）f（x+α），
∴我们考虑将cos4x分解成两个函数的乘积，
而且这两个函数还可以通过平移相互转化cos4x=cos²2x-sin²2x=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）=$\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）•\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）$，
∴可取$f（x）=\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）$，$α=\frac{π}{4}$即可．
（答案不唯一）

点评 本题主要考查函数单调性的应用，根据函数单调性的定义是解决本题的关键．综合考查函数的性质．