Question

16．设点M（x₀，x₀+$\sqrt{2}$），若在圆O：x²+y²=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则X₀的取值范围$[-\sqrt{2}，0]$．

Answer 1

分析 根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：点M（x₀，x₀+$\sqrt{2}$）在直线y=x+$\sqrt{2}$上，与圆O：x²+y²=1相切，
要使圆O：x²+y²=1上存在点N，使得∠OMN=45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时，一定存在点N，使得∠OMN=45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时有MN=1，
∴x₀的取值范围为$[-\sqrt{2}，0]$．
故答案为：$[-\sqrt{2}，0]$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．