Question

4．已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和且a₁=3，S_n=n²+Bn+C（其中B，C为常数）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$，T_n为数列{b_n}的前n项和．求证：$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）易知C=0，从而结合a₁=S₁=1+B=3，解出B；再由前n项和求通项公式即可；
（Ⅱ）化简b_n=$\frac{4}{（2n+1-1）（2n+3-1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，从而利用裂项求和法即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²+Bn+C，
∴C=0，
又∵a₁=S₁=1+B=3，
∴B=2，
∴S_n=n²+2n，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（（n-1）²+2（n-1））=2n+1，
且a₁=3也满足a_n=2n+1，
故a_n=2n+1；
（Ⅱ）证明：b_n=$\frac{4}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{4}{（2n+1-1）（2n+3-1）}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故T_n=1-$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{n+1}$＜1，
即$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

点评 本题考查了等差数列的性质应用及裂项求和法的应用．