Question

13．已知平面上两点A（-a，0），B（a，0）（a＞0），若圆（x-3）²+（y-4）²=4上存在点P，使得∠APB=90°，则a的取值范围是（　　）

• A． [3，6]
• B． [3，7]
• C． [4，6]
• D． [0，7]

Answer 1

分析 根据题意，得出圆C的圆心C与半径r，设P（m，n）在圆C上，表示出$\overrightarrow{AP}$=（a+m，n），$\overrightarrow{BP}$=（m-a，n），利用∠APB=90°，求出a²，根据|OP|表示的几何意义，得出a的取值范围．

解答 解：∵圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴圆心C（3，4），半径r=2；
设点P（m，n）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+m，n），$\overrightarrow{BP}$=（m-a，n）；
∵∠APB=90°，
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，
∴（m+a）（m-a）+n²=0；
即a²=m²+n²；
∴|OP|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+2=7，最小值是|OC|-r=5-2=3；
∴a的取值范围是[3，7]．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是综合性题目．