Question

3．设函数f（x）=lg[（2x-3）（x-1）]的定义域为集合A，函数$g（x）=\sqrt{-{x^2}+4ax-3{a^2}}$的定义域为集合B（其中a∈R，且a＞0）．
（1）当a=1时求集合A∩B；
（2）当A∩B=B时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质解关于x的不等式即可求出集合A，B，取交集即可；（2）根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由$（2x-3）（x-1）＞0⇒x＞\frac{3}{2}$或x＜1，
∴$A=（-∞，1）∪（\frac{3}{2}，+∞）$
当a=1时，由-x²+4x-3≥0⇒1≤x≤3，
∴B=[1，3]，
∴$A∩B=（\frac{3}{2}，3]$
（2）当a＞0时B=[a，3a]，
若A∩B=B⇒B⊆A，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 3a＜1\end{array}\right.$或$a＞\frac{3}{2}$，
解得$0＜a＜\frac{1}{3}$或$a＞\frac{3}{2}$，
故a的取值范围是$（0，\frac{1}{3}）∪（\frac{3}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查集合的运算，是一道基础题．