Question

12．在五棱锥P-ABCDE中，平面PAE⊥平面ABCDE，△PAE为等腰直角三角形，且∠APE=90°，AB=2，AC=$\sqrt{10}$，AE=2AB，BE=2$\sqrt{5}$，DE=3，∠ABC=135°，AB∥DE
（1）求证：平面PDE⊥平面PAE
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的性质定理以及直线平行的性质即可得到结论．
（2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 解：（1）∵AB²+AE²=BE²，
∴∠BAE=90°，即AB⊥AE，
∵AC=$\sqrt{10}$，AB=2，∠ABC=135°，
设BC=x，
则AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos135°，
即10=4+x²+2$\sqrt{2}$x，即x²+2$\sqrt{2}$x-6=0．
即（x-$\sqrt{2}$）（x+3$\sqrt{2}$）=0，得x=$\sqrt{2}$或x=-3$\sqrt{2}$（舍），
即BC=$\sqrt{2}$．过C作CF⊥AB于F，
则BF=1，CF=1，AF=2+1=3
∵平面PAE⊥平面ABCDE，AB⊥AE，
∴AB⊥平面PAE，
∵AB∥DE
∴DE⊥平面PAE，
∵DF?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAE．
（2）建立以A为坐标原点，建立空间坐标系如图：
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（3，1，0），
∵△PAE为等腰直角三角形，且∠APE=90°，AE=4，
∴P（0，2，2），D（3，4，0），
则$\overrightarrow{PC}$=（3，-1，-2），$\overrightarrow{BC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CD}$=（0，3，0），
设平面BPC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=3x-y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=x+y=0}\end{array}\right.$，
令y=-1，则x=1，z=2，即为$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2），
设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=3x-y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=3y=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{3x=2z}\\{y=0}\end{array}\right.$，
令x=2，则y=0，z=3，即为$\overrightarrow{n}$=（2，0，3），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+6}{\sqrt{1+1+4}•\sqrt{4+9}}=\frac{8}{\sqrt{6}•\sqrt{13}}$=$\frac{4\sqrt{78}}{39}$，
即二面角B-PC-D的余弦值是$\frac{4\sqrt{78}}{39}$．

点评 本小题主要考查面面垂直判断，二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．