Question

7．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是正三角形，三棱柱的高为$\sqrt{3}$，若P是△A₁B₁C₁中心，且三棱柱的体积为$\frac{9}{4}$，则PA与平面ABC所成的角大小是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，由此能求出PA与平面ABC所成的角．

解答 解：由题意设底面正△ABC的边长为a，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，
则点O为底面△ABC的中心，故∠PAO即为PA与平面ABC所成角，
∵|OA|=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，|OP|=$\sqrt{3}$，
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中体积为$\frac{9}{4}$，
∴由直棱柱体积公式得V=$\frac{\sqrt{3}}{4}{×a}^{2}×\sqrt{3}$=$\frac{9}{4}$，解得a=$\sqrt{3}$，
∴tan∠PAO=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}a}$=$\sqrt{3}$，
∴$∠PAO=\frac{π}{3}$，
∴PA与平面ABC所成的角为$\frac{π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考是线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．