Question

16．已知数列{a_n}是等差数列，c_n=a_n²-a_n+1²（n∈N^*）
（1）判断数列{c_n}是否为等差数列，并说明理由；
（2）如果a₁+a₃+…+a₂₅=130，a₂+a₄+…+a₂₆=117，试求数列{a_n}的公差d及通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过已知条件及平方差公式计算即可．
（2）先求出公差，再根据等差数列的前n项和求出首项，再根据通项公式即可求出．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，则a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n=d，
又∵c_n=a_n²-a_n+1²=-（a²_n+1-a_n²）=-（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
∴c_n+1-c_n=-（a_n+2+a_n+1）（a_n+2-a_n+1）+（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
=-d[（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）]
=-d[（a_n+2-a_n+1）+（a_n+1-a_n）]
=-2d²，
故数列{c_n}是以-2d²为公差的等差数列；
（2））∵a₁+a₃+…+a₂₅=130，a₂+a₄+…+a₂₆=117，
∴两式相减：13d=-13
∴d=-1，
∴13a₁+$\frac{13×12}{2}$×2d=130，
∴a₁=25
∴a_n=a₁+（n-1）d=25+（n-1）×（-1）=26-n

点评 本题考查等差数列的判定，等差数列的前n项和公式，注意解题方法的积累，属于基础题