Question

1．在公差不为零的等差数列{a_n}中，a₂=1，a₂、a₄、a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，记b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$．T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）公差d不为零的等差数列{a_n}中，满足a₂=1，a₂、a₄、a₈成等比数列．可得a₁+d=1，${a}_{4}^{2}$=a₂a₈即（1+2d）²=1×（1+6d），解出即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（n+1）}{4}$．可得b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）公差d不为零的等差数列{a_n}中，满足a₂=1，a₂、a₄、a₈成等比数列．
∴a₁+d=1，${a}_{4}^{2}$=a₂a₈即（1+2d）²=1×（1+6d），
解得${a}_{1}=d=\frac{1}{2}$．
∴a_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n}{2}$．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（\frac{1}{2}+\frac{n}{2}）}{2}$=$\frac{n（n+1）}{4}$．
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$4[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=4$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{4n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．