Question

6．如图，点D，E分别是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AB，B₁C₁的中点，记$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$．
（1）用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{DE}$；
（2）已知向量$\overrightarrow{m}$是平面ACC₁A₁的一个法向量，利用$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{DE}$的关系，证明：DE∥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）可取BC的中点F，并连接DF，EF，从而可以得到$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}，\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{c}$，这样即可得出$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$；
（2）根据法向量的概念，可以得到$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{b}，\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{c}$，从而得到$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{b}=0，\overrightarrow{m}•\overrightarrow{c}=0$，这样即可求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0$，从而有$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{DE}$，这便得出DE∥平面ACC₁A₁．

解答 解：（1）如图，取BC中点F，连接DF，EF，则：
$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$；
（2）$\overrightarrow{m}$是平面ACC₁A₁的一个法向量；
∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{b}，\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{c}$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{m}•\overrightarrow{c}=0$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{m}•（\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$=0；
∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{DE}$；
又DE?平面ACC₁A₁；
∴DE∥平面ACC₁A₁．

点评 考查向量加法、数乘的几何意义，三角形中位线的性质，相等向量的概念，以及平面法向量的概念，向量垂直的充要条件，向量的数量积的运算．