Question

20．在△ABC中，已知cos²B+cos²C=1+cos²A，且sinA=2sinBcosC，求证：b=c且A=90°．

Answer 1

分析 由已知利用三角形内角和定理及两角和与差的正弦函数公式可得sin（B-C）=0，即可解得B=C，可求b=c，利用cos²B=1-sin²B，cos²C=1-sin²C，cos²A=1-sin²A．代入cos²B+cos²C-cos²A=1，可得sin²B+sin²C=sin²A，由正弦定理可得：b²+c²=a²．即可判断A=90°．

解答 证明：∵由 sinA=2sinBcosC，可得：sin（B+C）=2sinBcosC，
即：sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
∴sin（B-C）=0，
∴B=C，
∴b=c，
又∵cos²B=1-sin²B，cos²C=1-sin²C，cos²A=1-sin²A．
又cos²B+cos²C=1+cos²A成立，
∴sin²B+sin²C=sin²A，
由正弦定理可得：b²+c²=a²．
∴∠A=90°．
得证．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理及两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，勾股定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．