Question

5．若1≤x，y，z≤2，且xyz=4，则$lo{g}_{2}^{2}$x+$lo{g}_{2}^{2}$y+$lo{g}_{2}^{2}$z的取值范围是[$\frac{4}{3}$，2]．

Answer 1

分析 根据题意，0≤log₂x≤1，0≤log₂y≤1，0≤log₂z≤1，且log₂x+log₂y+log₂z=2；
设a=log₂x，b=log₂y，c=log₂z，则a、b、c∈[0，1]，且a+b+c=2，求出a²+b²+c²的取值范围即可．

解答 解：∵1≤x，y，z≤2，∴0≤log₂x≤1，0≤log₂y≤1，0≤log₂z≤1；
又xyz=4，∴log₂（xyz）=log₂x+log₂y+log₂z=2；
设a=log₂x，b=log₂y，c=log₂z，
则a、b、c∈[0，1]，且a+b+c=2；
又a²+b²≥2ab，
b²+c²≥2bc，
c²+a²≥2ac，
∴2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ca，
∴3a²+3b²+3c²≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，
即3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=2²=4，
∴a²+b²+c²≥$\frac{4}{3}$；
又a、b、c∈[0，1]，
∴a²≤a，b²≤b，c²≤c，
∴a²+b²+c²≤a+b+c=2；
综上，$\frac{4}{3}$≤a²+b²+c²≤2，
即$lo{g}_{2}^{2}$x+$lo{g}_{2}^{2}$y+$lo{g}_{2}^{2}$z的取值范围是[$\frac{4}{3}$，2]．
故答案为：[$\frac{4}{3}$，2]．

点评 本题考查了对数的运算性质的应用问题，解题的关键是把问题转化为a、b、c∈[0，1]，且a+b+c=2，求出a²+b²+c²的取值范围，是难题．