Question

14．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，它们的所有棱长都相等，那么CB₁与平面AA₁B₁B所成角的正切值（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{5}$

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CB₁与平面AA₁B₁B所成角的正切值．

解答 解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中棱长为2，
则C（0，2，0），B₁（$\sqrt{3}$，1，2），A（0，0，0），A₁（0，0，2），
$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，-1，2），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，2$），
设平面AA₁B₁B的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，0），
设CB₁与平面AA₁B₁B所成角为θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{C{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{C{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{8}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，cosθ=$\sqrt{1-\frac{6}{16}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．