Question

2．已知函数f（x）=-2sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称．
（1）求此函数的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和此时相应的x的值；
（3）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数周期性，求得f（x）的周期．
（2）由条件利用正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，得出结论．
（3）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得x的范围，可得f（x）的增区间．

解答 解：（1）由函数f（x）=-2sin（2x+φ），可得它的周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵函数f（x）=-2sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，
∴2•$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，∴φ=-$\frac{3π}{4}$，
∴f（x）=-2sin（2x-$\frac{3π}{4}$）．
令f（x）=-2sin（2x-$\frac{3π}{4}$）=2，求得sin（2x-$\frac{3π}{4}$）=-1，
∴2x-$\frac{3π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，∴x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
故函数f（x）的最大值为2，此时，相应的x的值为x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
（3）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{9π}{8}$，
故函数f（x）的增区间为[kπ+$\frac{5π}{8}$，kπ+$\frac{9π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数周期性，以及它的图象的对称性，正弦函数的最值及单调区间，属于中档题．