Question

13．在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁+a₂=12，a₃+a₄=108，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知得$\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}q=12\\{a_1}{q^2}+{a_1}{q^3}=108\end{array}$，从而求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）化简${b_n}=n{a_n}=n•{3^n}$，从而结合通项公式可知利用错位相减法求其前n项和．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q（q＞0），
由已知得$\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}q=12\\{a_1}{q^2}+{a_1}{q^3}=108\end{array}$，
则解得a₁=3，q=3，
所以数列{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，
故${a_n}=3•{3^{n-1}}={3^n}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}=n{a_n}=n•{3^n}$，
∴S_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ，（1）
$3{S_n}=1•{3^2}+2•{3^3}+3•{3^4}+…+（{n-1}）•{3^n}+n•{3^{n+1}}…（2）$，
由（1）-（2）得，
$-2{S_n}={3^1}+•{3^2}+{3^3}+…+{3^n}-n•{3^{n+1}}=\frac{{3（{1-{3^n}}）}}{1-3}-n•{3^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{4}$+$\frac{n}{2}$•3ⁿ⁺¹=（$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$）3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式的求法及错位相减法的应用．