Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点P（-$\sqrt{2}$，1）在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据离心率公式和点满足椭圆方程，结合b²=a²-c²，即可求得椭圆C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁≠y₂，BA的中点（x₀，y₀），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），点B，A在椭圆上，化简可得y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-1，AB的中点在y=kx+1上，解得x₀，利用$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，可得x=±$\sqrt{2}$，推出k的不等式，得到结果．

解答 解：（1）由已知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即c²=$\frac{1}{2}$a²，b²=a²-c²=$\frac{1}{2}$a²，
 将P（-$\sqrt{2}$，1）代入椭圆方程，可得$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
∴a=2，b=$\sqrt{2}$，∴a²=4，∴b²=2，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁≠y₂
AB的中点（x₀，y₀），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），
则x₁²+（y₁-1）²=x₂²+（y₂-1）²，
点B，A在椭圆上，
∴x₁²=4-2y₁²，x₂²=4-2y₂²，∴4-2y₁²+（y₁-1）²=4-2y₂²+（y₂-1）²，
化简可得：y₁²-y₂²=-2（y₁-y₂），即y₁+y₂=-2，
∴y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-1，
又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y₀=kx₀+1，x₀=-$\frac{2}{k}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，可得x=±$\sqrt{2}$，
∴0＜-$\frac{2}{k}$＜$\sqrt{2}$，或-$\sqrt{2}$＜-$\frac{2}{k}$＜0，
即k＜-$\sqrt{2}$或k＞$\sqrt{2}$．
则k的取值范围是（-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，对称知识的应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．