Question

6．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足$4{S_n}={（{{a_n}+1}）^2}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n=2k-1\\ f（{\frac{n}{2}}），n=2k.\end{array}\right.$（其中n，k∈N^*），${b_n}=f（{{2^n}+4}）$，求数列{b_n}的前n项和T_n（n≥3）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）结合公式$4{S_n}={（{{a_n}+1}）^2}（{n∈{N^*}}）$，分n=1与n＞1讨论，从而求通项公式即可；
（Ⅱ）分类讨论求b_n的值，从而利用拆项求和法求其前n项和．

解答 解：（Ⅰ）∵$4{S_n}={（{{a_n}+1}）^2}（{n∈{N^*}}）$，
∴4a₁=（a₁+1）²，
∴a₁=1，
当n≥2时，4S_n-1=（a_n-1+1）²，
故4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
故（a_n-1）²=（a_n-1+1）²，
故a_n-1=a_n-1+1，或a_n-1=-a_n-1-1，
故a_n=a_n-1+2，或a_n=-a_n-1（舍去），
故数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
故a_n=2n-1；
（Ⅱ）∵$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n=2k-1\\ f（{\frac{n}{2}}），n=2k.\end{array}\right.$，${b_n}=f（{{2^n}+4}）$，
∴b₁=f（6）=f（3）=a₃=5，
b₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，
当n≥3时，
${b_n}=f（{{2^n}+4}）$
=f（2^n-1+2）
=f（2^n-2+1）=2（2^n-2+1）-1=2^n-1+1，
故当n≥3时，
T_n=5+1+（4+1）+（8+1）+…+（2^n-1+1）
=5+n-1+4+8+…+2^n-1
=5+n-1+$\frac{4（1-{2}^{n-2}）}{1-2}$
=n+2ⁿ．

点评 本题考查了学生的化简运算能力，同时考查了分类讨论的思想应用及拆项求和法的应用．