Question

11．已知正四棱锥O-ABCD的体积为54，底面边长为$3\sqrt{2}$，则正四棱锥O-ABCD的外接球的表面积为100π．

Answer 1

分析 先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的面积公式解之即可．

解答 解：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
记球心为O，PO=AO=R，PO₁=1，OO₁=R-1，或OO₁=1-R（此时O在PO₁的延长线上），
∵正四棱锥O-ABCD的体积为54，底面边长为$3\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{3}×（3\sqrt{2}）^{2}h$=54，
∴h=9，
在Rt△AO₁O中，R²=9+（R-9）²得R=5，∴球的表面积S=100π．
故答案为：100π．

点评 本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．