Question

3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）若四边形BCC₁B₁是正方形，且A₁D=$\sqrt{5}$，求直线A₁D与平面CBB₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连AC₁，设AC₁与A₁C相交于点O，先利用中位线定理证明DO∥BC₁，再利用线面平行的判定定理证明结论即可．
（2）推导出三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，以C为原点，CB为x轴，CC₁为y轴，过C作平面CBB₁C₁的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁D与平面CBB₁C₁所成角的正弦值．

解答 证明：（1）连AC₁，设AC₁与A₁C相交于点O，连DO，则O为AC₁中点，
∵D为AB的中点，
∴DO∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁CD，DO?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD． 
解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点，
四边形BCC₁B₁是正方形，且A₁D=$\sqrt{5}$，
∴CD⊥AB，CD=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，AD=1，
∴AD²+AA₁²=A₁D²，∴AA₁⊥AB，
∵${A}_{1}{C}^{2}=4+4=8$，∴${A}_{1}{D}^{2}+C{D}^{2}={A}_{1}{C}^{2}$，
∴CD⊥DA₁，又DA₁∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，∵BB₁?平面ABB₁A₁，∴BB₁⊥CD，
∵矩形BCC₁B₁，∴BB₁⊥BC，
∵BC∩CD=C∴BB₁⊥平面ABC，
∵底面△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．
以C为原点，CB为x轴，CC₁为y轴，过C作平面CBB₁C₁的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），A（1，0，$\sqrt{3}$），D（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A₁（1，2，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\frac{1}{2}$，-2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），平面CBB₁C₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设直线A₁D与平面CBB₁C₁所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}D}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．
∴直线A₁D与平面CBB₁C₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．