Question

15．已知实数a，b满足$\frac{1}{2}$＞（$\frac{1}{2}$）^a＞（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^b＞$\frac{1}{4}$，则（　　）

• A． b＜2$\sqrt{b-a}$
• B． b＞2$\sqrt{b-a}$
• C． a＜$\sqrt{b-a}$
• D． a＞$\sqrt{b-a}$

Answer 1

分析 由已知结合指数式的单调性求得1＜a＜2，2＜b＜4．然后举特值利用排除法得答案．

解答 解：由$\frac{1}{2}$＞（$\frac{1}{2}$）^a，得a＞1，
由（$\frac{1}{2}$）^a＞（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^b，得$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2a}＞（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{b}$，得2a＜b，
由（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^b＞$\frac{1}{4}$，得$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{b}＞（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{4}$，得b＜4．
由2a＜b，得b＞2a＞2，$a＜\frac{b}{2}＜2$，
∴1＜a＜2，2＜b＜4．
取a=$\frac{3}{2}，b=\frac{7}{2}$，得$\sqrt{b-a}=\sqrt{\frac{7}{2}-\frac{3}{2}}=\sqrt{2}$，有$a＞\sqrt{b-a}$，排除C；
b$＞2\sqrt{b-a}$，排除A；
取$a=\frac{11}{10}，b=\frac{39}{10}$得，$\sqrt{b-a}=\sqrt{\frac{39}{10}-\frac{11}{10}}=\sqrt{\frac{14}{5}}$，有$a＜\sqrt{b-a}$，排除D．
故选：B．

点评 本题考查指数式的图象和性质，训练了利用举特值排除法求解选择题，是中档题．