Question

1．已知函数f（x）=|2x-1|+|x+1|-a的图象与x轴有且仅有一个交点．
（1）求实数a的值；
（2）若m，n∈[-a，a]，求证：2|m+n|＜|4+mn|

Answer 1

分析 （1）（x）=|2x-1|+|x+1|，去绝对值可得分段函数，画出图象可得最小值，即可得到a的值；
（2）由m，n∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，可得m²≤$\frac{9}{4}$，n²≤$\frac{9}{4}$，运用分析法，结合平方差公式，运用不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）由g（x）=|2x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x≤-1}\\{2-x，-1＜x＜\frac{1}{2}}\\{3x，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
画出函数y=g（x）的图象，可得x=$\frac{1}{2}$时，g（x）取得最小值$\frac{3}{2}$，
由题意可得a=$\frac{3}{2}$；
（2）证明：由m，n∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，可得m²≤$\frac{9}{4}$，n²≤$\frac{9}{4}$，
要证2|m+n|＜|4+mn|，即证4（m+n）²＜（4+mn）²，
即为（2m+2n+4+mn）（2m+2n-4-mn）＜0，
即为（2+n）（2+m）（2-n）（-2+m）＜0，
即为（4-n²）（m²-4）＜0，
由m²≤$\frac{9}{4}$，n²≤$\frac{9}{4}$，可得m²＜4，n²＜4，
即4-m²＞0，n²-4＜0，
则（4-n²）（m²-4）＜0成立，
故原不等式成立．

点评 本题考查绝对值函数的最值的求法，注意运用零点分区间和数形结合的思想方法，考查不等式的证明，注意运用分析法，考查推理和运算能力，属于中档题．