Question

16．数列的通项是a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，记S_n=a₁+a₂+…+a_n，求使S_n＞$\frac{2}{3}$的n的最小值．

Answer 1

分析 利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=$（1-\frac{1}{\sqrt{2}}）$+$（\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}）$+…+$（\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}）$
=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
使S_n＞$\frac{2}{3}$成立，即1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$＞$\frac{2}{3}$，
化为：$\frac{1}{3}＞$$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
解得：n＞8．
∴使S_n＞$\frac{2}{3}$成立的n的最小值为9．

点评 本题考查了“裂项求和”与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．