Question

10．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示：
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求棱锥A-BCD的表面积．

Answer 1

分析 （1）由已知条件求出∠ADB=45°，从而得到AB⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，由此能够证明AB⊥DC．
（Ⅱ）利用侧面积加底面积可得棱锥A-BCD的表面积．

解答 （1）证明：在△ABD中，∵AB=1，BD=1，且∠A=45°
∴∠ADB=45°，
∴AB⊥BD，
∴平面ABD⊥平面BCD，面ABD∩面BDC=BD，∴AB⊥面BDC，
∴AB⊥DC；
（2）解：由（1）可知，AB⊥BC，AD⊥CD，
∴棱锥A-BCD的表面积=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$×2+$\frac{1}{2}×1×1×2$=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查棱锥A-BCD的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．．