Question

6．已知圆锥曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α是参数）和定点A（0，$\sqrt{3}$），F₁，F₂分别是曲线C的左、右焦点．
（1）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求直线AF₂的极坐标系方程．
（2）若P是曲线C上的动点，求|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出直线AF₂的直角坐标方程，再转化为极坐标方程；
（2）根据椭圆的性质得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，将利|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|转化为二次函数求出最值．

解答 解：（1）曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，∴F₂（1，0），
∴直线AF₂的斜率k=-$\sqrt{3}$，∴直线AF₂的直角坐标方程为y=-$\sqrt{3}x$+$\sqrt{3}$．
∴直线AF₂的极坐标方程为ρsinθ=-$\sqrt{3}ρ$cosθ+$\sqrt{3}$．
（2）P是曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$上的动点，∴1≤|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|≤3．
∵|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=4，∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|×（4-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|）=-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|²+4|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=-（$\overrightarrow{P{F}_{2}}$-2）²+4．
∴当|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2时，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|取得最大值4，当|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=1或3时，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|取得最小值3．
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的取值范围是[3，4]．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，椭圆的几何性质，属于基础题．