Question

7．函数f（x）=-x²+3x-a，g（x）=2^x-x²，若f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的范围是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，e]
• C． （-∞，ln2]
• D． [0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 利用导数可得g（x）在x∈[0，1]上的取值范围为[1，g（x₀）]，其中g（x₀）＜2，令t=g（x）换元，把f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立转化为-t²+3t-a≥0对t∈[1，g（x₀）]恒成立，分离参数a后利用函数单调性求出函数-t²+3t的最小值得答案．

解答 解：g（x）=2^x-x²，g′（x）=2^xln2-2x，
∵g′（0）=ln2＞0，g′（1）=2ln2-2＜0，
∴g′（x）在（0，1）上有零点，
又[g′（x）]′=ln²2•2^x-2＜0在[0，1]上成立，
∴g′（x）在（0，1）上有唯一零点，设为x₀，
则当x∈（0，x₀）时，g′（x）＞0，当x∈（x₀，1）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在x∈[0，1]上有最大值g（x₀）＜2，
又g（0）=g（1）=1，
∴g（x）∈[1，g（x₀）]，
令t=g（x）∈[1，g（x₀）]，
要使f[g（x）]≥0对x∈[0，1]恒成立，则
f（t）≥0对t∈[1，g（x₀）]恒成立，
即-t²+3t-a≥0对t∈[1，g（x₀）]恒成立，
分离a，得a≤-t²+3t，
函数-t²+3t的对称轴为t=$\frac{3}{2}$，又g（x₀）＜2，
∴（-t²+3t）_min=2，
则a≤2．
则实数a的范围是（-∞，2]．
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属中档题．