Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=$\frac{3n-1}{3n+2}$a_n（n≥1），求a_n的通项公式．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=$\frac{3n-1}{3n+2}$a_n（n≥1），可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{3n-4}{3n-1}$（n≥2），利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=$\frac{3n-1}{3n+2}$a_n（n≥1），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{3n-4}{3n-1}$（n≥2），
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=$\frac{3n-4}{3n-1}$•$\frac{3n-7}{3n-4}$•…•$\frac{5}{8}$•$\frac{2}{5}$•3
=$\frac{6}{3n-1}$，当n=1时也成立．
∴a_n=$\frac{6}{3n-1}$．

点评 本题考查了递推关系、“累乘求积”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．