Question

3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的表面积为（　　）

• A． 72π
• B． 100π
• C． 108π
• D． 72$\sqrt{2}π$

Answer 1

分析 作出棱锥的直观图，根据三视图数据可知过底面对角线的平面即为外接球大圆，利用平面几何解出大圆的半径．

解答 解：根据三视图作出四棱锥的直观图如图所示：

由三视图可知，四棱锥的底面ABCD是边长为6的正方形，P在底面的射影M在底面对角线BD上，
PM=2，且$\frac{DM}{BM}=\frac{1}{2}$．∴OB=3$\sqrt{2}$，设底面中心为O，则OM=$\sqrt{2}$，
∴平面BDP即为四棱锥外接球的大圆所在平面．作出该大圆的截面如图：

设外接球球心为H，过H作BD的垂线HO，PM的垂线HN，则HN=OM=$\sqrt{2}$，
设大圆半径为R，则MN=OH=$\sqrt{{R}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}-18}$，PN=$\sqrt{H{P}^{2}-H{N}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}-2}$．
∵PM=PN-MN，∴$\sqrt{{R}^{2}-2}$-$\sqrt{{R}^{2}-18}$=2．解得R=$\sqrt{27}$．
外接球的表面积S=4πR²=108π．
故选C．

点评 本题考查了棱锥的三视图，棱锥与外接球的关系，寻找大圆截面是解题关键．