Question

5．函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-ax+3）在[1，2]上恒为正数，则a的取值范围是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$＜a＜2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{2}$＜a＜$\frac{7}{2}$
• C． 3＜a＜$\frac{7}{2}$
• D． 3＜a＜2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据对数函数的单调性，将问题转化为0＜x²-ax+3＜1在[1，2]上恒成立即可．

解答 解：由于底数是$\frac{1}{3}$，若y=f（x）=${log}_{\frac{1}{3}}$（x²-ax+3）在[1，2]上恒为正数，
则0＜x²-ax+3＜1在[1，2]上恒成立，
即 x+$\frac{2}{x}$＜a＜x+$\frac{3}{x}$，x∈[1，2]，
a＜x+$\frac{3}{x}$时，令f（x）=x+$\frac{3}{x}$，x∈[1，2]，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-3}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{3}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{3}$，
∴f（x）在[1，$\sqrt{3}$）递减，在（$\sqrt{3}$，2]递增，
∴f（x）_min=f（$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$，
a＞x+$\frac{2}{x}$时，令g（x）=x+$\frac{2}{x}$，x∈[1，2]，
g′（x）=$\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2}$，令g′（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）在[1，$\sqrt{2}$）递减，在[$\sqrt{2}$，2]递增，
∴g（x）_max=3，
∴3＜a＜2$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了对数函数的单调性、二次函数的性质，考查复合函数的考查，是一道基础题．