Question

14．已知两个不共线的向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OC}$，向量$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OA}$关于向量$\overrightarrow{OC}$对称，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{b}$用$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{c}$表示为（　　）

• A． 2（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$
• B． $\frac{2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{c}|}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$
• C． $\frac{2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{c}|}-\overrightarrow{a}$
• D． $\frac{2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{c}{|}^{2}}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$

Answer 1

分析 作$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的和向量，由$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$对称可知，所做平行四边形为菱形，且和向量与$\overrightarrow{c}$共线，根据菱形的性质可知和向量的模为$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{c}$上射影的2倍．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OA}$关于向量$\overrightarrow{OC}$对称，∴$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$，＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=＜$\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$＞．
以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则四边形OADB是菱形，∴OD⊥AB，
设AB，OD交于点E，则E为OD中点．OE为$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{c}$上的射影，
∴OD=2OE=2|$\overrightarrow{a}$|cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{c}|}$．∴$\overrightarrow{OD}$=OD•$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{c}{|}^{2}}•\overrightarrow{c}$．
∴$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$=$\frac{2（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{c}{|}^{2}}•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的几何意义，向量的射影，求出和向量的模是解题关键，属于中档题．