Question

5．过圆x²+y²=4上的点M（1，-$\sqrt{3}$）作圆的切线l，且直线l恰好过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个顶点，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 运用切线的性质可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0，求得顶点，运用离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得切线的斜率为k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得切线的方程为y+$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），
即为x-$\sqrt{3}$y-4=0，
令x=0，可得y=-$\frac{4}{\sqrt{3}}$；
令y=0，可得x=4．
由题意可得a=4，b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
即有离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的切线方程，考查运算能力，属于中档题．