Question

17．若函数f（x）=2ax²-x³（a＞1）在区间（0，1]上是增函数，则实数a的取值范围是[$\frac{3}{4}，+∞$）．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由题意可得f′（x）=-3x²+4ax≥0在（0，1]上恒成立，分离变量后利用单调性求出函数最值得答案．

解答 解：由f（x）=2ax²-x³（a＞1），得f′（x）=-3x²+4ax，
∵函数f（x）=2ax²-x³（a＞1）在区间（0，1]上是增函数，
∴f′（x）=-3x²+4ax≥0在（0，1]上恒成立，
即$a≥\frac{3}{4}x$在（0，1]上恒成立，
∵y=$\frac{3}{4}x$在（0，1]上为增函数，∴当x=1时有最大值$\frac{3}{4}$．
∴$a≥\frac{3}{4}$．
故答案为：[$\frac{3}{4}，+∞$）．

点评 本题考查二次函数的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离参数法求参数的取值范围，是中档题．