Question

7．设△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$．试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 通过向量的运算律：分配律得到$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）=0，据向量的运算法则得三角形的三边对应的向量和为0，即$\overrightarrow{b}$=-（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$），代入得向量的平方相等，据向量的平方等于向量模的平方得出三角形的三边相等．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$得$\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）=0$，∴$\overrightarrow{b}⊥（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）$，
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$均为非零向量，且$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{b}=-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）$，则$-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）=0$，
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{c}|$，同理可得$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{c}|$，
则△ABC为正三角形．

点评 本题考查向量的运算律；向量的运算法则；及向量的平方等于向量模的平方，是中档题．