Question

2．一个公司的一款新产品有若干销售店，为了解该产品的广告投入费用与销售额间的关系，该公司抽取了其中的五个销售店作为样本，统计出它们的广告投入费用x与销售额y，如下表：

x（万元）	2	4	5	6	8
y（万元）	30	40	60	50	70

（1）求销售额y对广告费用x的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）设k=$\frac{销售额}{广告费}$，若k≥10，则称该店为“盈利店”，把上述样品中“盈利店”的频率视作一个店是“盈利店”的概率，现另外再调查3个销售店，记这三个店中“盈利店”的个数为X，求X的分布列和数学期望．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出b，a，即可求销售额y对广告费用x的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）由题意，“盈利店”共3个，“盈利店”的概率为$\frac{3}{5}$，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由题意，$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（30+40+60+50+70）=50，
∴b=$\frac{60+160+300+300+560-5×5×50}{4+16+25+36+64-5×{5}^{2}}$=6.5，
∴50=6.5×5+a，
∴a=17.5，
∴y=6.5x+17.5；
（2）由题意，“盈利店”共3个，“盈利店”的概率为$\frac{3}{5}$，
X可取0，1，2，3，则P（X=0）=$\frac{8}{125}$，P（X=1）=C₃¹•（$\frac{3}{5}$）•（$\frac{2}{5}$）²=$\frac{36}{125}$，P（X=2）=C₃²•（$\frac{3}{5}$）²•（$\frac{2}{5}$）=$\frac{54}{125}$，
P（X=3）=C₃³•（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$，
∴X的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

数学期望EX=0×$\frac{8}{125}$+1×$\frac{36}{125}$+2×$\frac{54}{125}$+3×$\frac{27}{125}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查回归分析的初步应用，考查分布列和数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．