Question

17．已知角θ的终边在第三象限，tan2θ=-2$\sqrt{2}$，则sin²θ+sin（3π-θ）cos（2π+θ）-$\sqrt{2}$cos²θ=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由条件利用二倍角的正切公式求得tanθ的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．

解答 解：角θ的终边在第三象限，tan2θ=-2$\sqrt{2}$=$\frac{2tanθ}{1{-tan}^{2}θ}$，∴tanθ=$\sqrt{2}$，或 tanθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去）
则sin²θ+sin（3π-θ）cos（2π+θ）-$\sqrt{2}$cos²θ=sin²θ+sinθcosθ-$\sqrt{2}$cos²θ
=$\frac{{sin}^{2}θ+sinθcosθ-\sqrt{2}{•cos}^{2}θ}{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}$=$\frac{{tan}^{2}θ+tanθ-\sqrt{2}}{{tan}^{2}θ+1}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查二倍角的正切公式，诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．